Question

直線l過橢圓C：

x2

2

+y²=1的左焦點F，且與橢圓C交于P，Q兩點，M為弦PQ的中點，O為原點，若△PMO是以線段OF為底邊的等腰三角形，則直線l的斜率為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由橢圓方程求得橢圓的焦點坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合中點坐標(biāo)公式求出M的坐標(biāo)，由-

2k2

2k2+1

=-

1

2

求得直線的斜率．

解答： 解：由

x2

2

+y²=1，得a²=2，b²=1，
∴c²=a²-b²=2-1=1．
則c=1，則左焦點F（-1，0）．
由題意可知，直線l的斜率存在且不等于0，
則直線l的方程為y=kx+k．
設(shè)l與橢圓相交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=kx+k

，得：（2k²+1）x²+4k²x+2k-2=0．
則PQ的中點M的橫坐標(biāo)為

x1+x2

2

=-

2k2

1+2k2

．
∵△FMO是以O(shè)F為底邊的等腰三角形，
∴-

2k2

2k2+1

=-

1

2

．解得：k=±

2

2

．
故答案為：±

2

2

．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，是中檔題．