Question

設F（

1

2

，0），點A在x軸上，點B在y軸上，且

AM

=2

AB

，

BA

•

BF

=0．
（1）當點B在y軸上運動時，求點M的軌跡E的方程；
（2）設點F是軌跡E上的動點，點R，N在y軸上，圓（x-1）²+y²=1內切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1））設M（x，y），由

AM

=2

AB

，得點B為線段AM的中點，由

BA

•

BF

=-

1

2

x+

y2

4

=0，即可得到動點M的軌跡E的方程；
（2）設P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，可得PR直線的方程為：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，由直線PR、PN與題中的圓相切，運用距離公式算出（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0、（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，可得b、c是方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩個根，運用根與系數(shù)的關系算出|b-c|關于x的式子，再代入計算△PRN的面積可得面積S關于x的表達式，最后利用基本不等式即可求出△PRN的面積的最小值．

解答： 解：（1）設M（x，y），由

AM

=2

AB

，得點B為線段AM的中點，
∴B（0，

y

2

），A（-x，0），
∴

BA

=（-x，-

y

2

），

BF

=（

1

2

，-

y

2

）．
由

BA

•

BF

=-

1

2

x+

y2

4

=0，得y²=2x．
所以動點M的軌跡E的方程為y²=2x；               

（2）設P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
∴PR直線的方程為y=

y0-b

x0

x+b，整理得l_PR：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
∵圓（x-1）²+y²=1內切于△PRN，可得PR與圓相切，
∴

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，
注意到x₀＞2，化簡得：（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得：（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
因此，b、c是方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩個不相等的實數(shù)根，
根據(jù)根與系數(shù)的關系，化簡整理可得|b-c|=

4y02+4x0(x0-2)

|x0-2|

=

2x0

x0-2

，
由此可得△PRN的面積為S=

1

2

•

2x0

x0-2

•x₀=（x₀-2）+

4

x0-2

+4≥8，
∴當x₀-2=

4

x0-2

時，即當x₀=4時，△PRN的面積的最小值為8．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．