如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為等腰直角三角形，，且分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求銳二面角的余弦值.
（1）詳見(jiàn)解析，（2）

試題分析：（1）要證明平面，需證明及，前面在平面中證明，利用勾股定理，即通過(guò)計(jì)算設(shè)，則.∴，∴.后者通過(guò)線(xiàn)面垂直與線(xiàn)線(xiàn)垂直的轉(zhuǎn)化得，即由面面，得面，再得。（2）求二面角的余弦值，可通過(guò)作、證、算，本題可過(guò)作,則為所求二面角的平面角.也可利用空間向量求，先建系，求出平面及平面的法向量，利用向量數(shù)量積求出兩法向量的夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得出結(jié)論.
試題解析：（1）連結(jié)，∵是等腰直角三角形斜邊的中點(diǎn)，∴.
又三棱柱為直三棱柱，
∴面面，
∴面，.     2分
設(shè)，則.
∴，∴.           4分
又，∴ 平面.          6分
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，

則，
，.          8分
由（1）知，平面，
∴可取平面的法向量.
設(shè)平面的法向量為，
由
∴可取.          10分
設(shè)銳二面角的大小為，
則.
∴所求銳二面角的余弦值為.          12分
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F(xiàn)，G，H分別為BE，AE，BC的中點(diǎn)
（1）求證：DE∥平面FGH；
（2）若點(diǎn)P在直線(xiàn)GF上，=λ，且二面角D﹣BP﹣A的大小為，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知四棱錐的底面是平行四邊形，,，面，
且．若為中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的點(diǎn)，且．
（1）求證：平面；
（2）求PC與平面PAD所成角的正弦值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，，平面，，，，.

（1）若是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一點(diǎn)，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，.

（1）證明：；
（2）求二面角A-BP-D的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知三棱柱，平面，，，四邊形為正方形，分別為中點(diǎn)．
（1）求證：∥面；
（2）求二面角——的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，AD=AE，F是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將沿AF折起，得到如圖所示的三棱錐，其中.

（1） 證明://平面;
（2） 證明:平面;
（3）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝a，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點(diǎn).

（1）若AC1⊥D1F，求a的值；
（2）若a＝2，求二面角E－FD1－D的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知直二面角α-l-β,點(diǎn)A∈α,AC⊥l,C為垂足,B∈β,BD⊥l,D為垂足.若AB=2,AC=BD=1,則D到平面ABC的距離等于(　　)
A．B．C．D．1

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