Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為正方形的長(zhǎng)方體，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，點(diǎn)P是AD₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：不論點(diǎn)P在AD₁上的任何位置，平面B₁PA₁都垂直于平面AA₁D₁
（2）當(dāng)P為AD₁的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由長(zhǎng)方體的幾何特征可得B₁A₁⊥平面AA₁D₁，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的判定定理得到不論點(diǎn)P在AD₁上的任何位置，平面B₁PA₁都垂直于平面AA₁D₁
（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥A₁D₁，垂足為E，連結(jié)B₁E，可得∠B₁PE是異面直線AA₁與B₁P所成的角，解三角形可得答案．

解答： 解：（1）不論點(diǎn)P在AD₁上的任何位置，都有平面B₁PA₁垂直于平面AA₁D₁，
證明如下：由題意知，B₁A₁⊥A₁D₁，B₁A₁⊥A₁A，
又∵AA₁∩A₁D₁=A₁，
∴B₁A₁⊥平面AA₁D₁，
又A₁B₁?平面B₁PA₁，
∴平面B₁PA₁⊥平面AA₁D₁．
（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥A₁D₁，垂足為E，連結(jié)B₁E（如圖），
則PE∥AA₁，
∴∠B₁PE是異面直線AA₁與B₁P所成的角．
在 Rt△AA₁D₁中，
∵∠AD₁A₁=60°，
∴∠A₁AD₁=30°
∴A1B1=A1D1=

1

2

AD1=2，
A1E=

1

2

A1D1=1，
∴B1E=

B1A12+A1E2

=

5

．
又PE=

1

2

AA1=

3

．
∴在 Rt△B₁PE中，B1P=

5+3

=2

2

，
cos∠B1PE=

PE

B1P

=

3

2 2

=

6

4

∴異面異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值為

6

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線及其所成的角，面面垂直的性質(zhì)，其中找出異面直線夾角的平面角是解答的關(guān)鍵．