Question

9．已知某公司生產(chǎn)一種儀器元件，年固定成本為20萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件儀器元件需另外投入8.1萬(wàn)元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)此種儀器元件x萬(wàn)件并全部銷(xiāo)售完，每萬(wàn)件的銷(xiāo)售收入為f（x）萬(wàn)元，且
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}32.4-\frac{1}{10}{x^2}（0＜x≤10）\\ \frac{324}{x}-\frac{1000}{x^2}（x＞10）\end{array}$
（Ⅰ）寫(xiě)出年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)品x（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，該公司生產(chǎn)此種儀器元件所獲年利潤(rùn)最大？
（注：年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-年總成本）

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)當(dāng)0＜x≤10時(shí)，當(dāng)x＞10時(shí)，寫(xiě)出年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)品x（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）①當(dāng)0＜x≤10時(shí)，通過(guò)求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值；②當(dāng)x＞10時(shí)，利用基本不等式求解函數(shù)的最值．即可得到結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，$y=xf（x）-（20+8.1x）=24.3x-\frac{x^3}{10}-20$…（3分）
當(dāng)x＞10時(shí)，$y=xf（x）-（20+8.1x）=304-\frac{1000}{x}-8.1x$…（5分）
所以$y=\left\{\begin{array}{l}24.3x-\frac{x^3}{10}-20，（0＜x≤10）\\＜br/＞304-\frac{1000}{x}-8.1x，（x＞10）＜br/＞\end{array}\right.$…6分
（Ⅱ）①當(dāng)0＜x≤10時(shí)，由$y'=24.3-\frac{{3{x^2}}}{10}=0$，得x=9（負(fù)值舍去）．
當(dāng)x∈（0，9）時(shí)，y'＞0；當(dāng)x∈（9，10）時(shí)，y'＜0；
∴當(dāng)x=9時(shí)，y取得極大值也是最大值，
${y_{max}}=24.3×9-\frac{1}{10}×{9^3}-20=125.8$…9分
②當(dāng)x＞10
時(shí)，$y=304-（\frac{1000}{x}+8.1x）≤304-2\sqrt{\frac{1000}{x}×8.1x}=124$
 
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1000}{x}=8.1x$，即$x=\frac{100}{9}$時(shí)，y_max=124．…11分
  綜合①、②知x=9時(shí)，y取最大值，
所以當(dāng)年產(chǎn)量為9萬(wàn)件時(shí)，該公司生產(chǎn)此種儀器獲利最大．…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)際問(wèn)題的解法，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在最值中的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．