Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{3x-2}$，x∈[1，4]，且f（1）=2．
（1）求函數(shù)的解析式并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)y=f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）將由f（1）=-1求出a=1，代入f（x），求出函數(shù)的解析式，里用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的求出最值即可．

解答 證明：（1）$f（1）=\frac{1+a}{3-2}=2$，∴a=1，
∴函數(shù)的解析式：f（x）=$\frac{x+1}{3x-2}$，x∈[1，4]
設任取x₁，x₂∈[1，4]，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}+1}{3{x}_{1}-2}-\frac{{x}_{2}+1}{3{x}_{2}-2}$=$\frac{5（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（3{x}_{1}-2）（3{x}_{2}-2）}$
∵1≤x₁＜x₂≤4，x₁-x₂＜0，3（x₁-2）＞0，3（x₂-2）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在[1，4]上為減函數(shù)．
解：（2）由（1）知，f（x）在[1，4]上為減函數(shù)，
f（x）_max=f（1）=2，$f{（x）_{min}}=f（4）=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)的最值，屬于中檔題．