Question

對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若同時(shí)滿足下列條件：①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數(shù)，且條件②中的區(qū)間[a，b]為f（x）的一個(gè)“好區(qū)間”．
（1）求閉函數(shù)y=-x³的“好區(qū)間”；
（2）若[1，16]為閉函數(shù)f（x）=m

x

+nlog2x的“好區(qū)間”，求m、n的值；
（3）判斷函數(shù)y=k+

x+1

是否為閉函數(shù)？若是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)“好區(qū)間”的定義即可求閉函數(shù)y=-x³的“好區(qū)間”；
（2）根據(jù)若[1，16]為閉函數(shù)f（x）=m

x

+nlog2x的“好區(qū)間”，建立方程組關(guān)系即可求m、n的值；
（3）根據(jù)閉函數(shù)的定義，進(jìn)行驗(yàn)證即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵y=-x³是減函數(shù)，∴

f(a)=b f(b)=a a＜b

⇒

-a3=b -b3=a a＜b

⇒

a=-1 b=1

故閉函數(shù)y=-x³的“好區(qū)間”是[-1，1]．            …（3分）
（2）①若f（x）是[1，16]上的增函數(shù)，則∴

f(1)=1 f(16)=16

⇒

m=1 4m+4n=16

⇒

m=1 n=3

此時(shí)f(x)=

x

+3log2x是[1，16]上的增函數(shù)，故f(x)=

x

+3log2x符合題意．
②若f（x）是[1，16]上的減函數(shù)，則∴

f(1)=16 f(16)=1

⇒

m=16 4m+4n=1

⇒

m=16 n=- 63 4

此時(shí)f(x)=16

x

-

63

4

log2x．
因?yàn)?span id="uqdjegu" class="MathJye">f(4)=

1

2

＜1=f(16)，所以f(x)=16

x

-

63

4

log2x在區(qū)間[1，16]上不是減函數(shù)，
故f(x)=16

x

-

63

4

log2x不符合題意．
綜上：

m=1 n=3

…（8分）
（3）若y=k+

x+1

是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]⊆[-1，+∞），滿足

f(a)=a f(b)=b

；
故方程f（x）=x在區(qū)間[-1，+∞）上有兩不相等的實(shí)根．
由k+

x+1

=x得x-

x+1

-k=0
令

x+1

=t則x=t²-1，
方程可化為t²-t-k-1=0，且方程有兩不相等的非負(fù)實(shí)根；
令g（t）=t²-t-k-1，
則

g(0)≥0 g( 1 2 )＜0

⇒

-k-1≥0 -k- 5 4 ＜0

⇒-

5

4

＜k≤-1…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的新定義問題，考查學(xué)生的理解和應(yīng)用能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．