Question

13．已知點O，A，B，F(xiàn)分別為橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的中心、左頂點、上頂點、右焦點，過點F作OB的平行線，它與橢圓C在第一象限部分交于點P，若$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{OP}$，則實數(shù)λ的值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{OP}$的坐標(biāo)，代入$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{OP}$，結(jié)合隱含條件求得實數(shù)λ的值．

解答 解：如圖，

A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)（c，0），
則P（c，$\frac{^{2}}{a}$），
∴$\overrightarrow{AB}=（a，b）$，$\overrightarrow{OP}=（c，\frac{^{2}}{a}）$，
由$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{OP}$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=λc}\\{b=λ\frac{^{2}}{a}}\end{array}\right.$，即b=c，
∴a²=b²+c²=2b²，$\frac{a}=\sqrt{2}$．
則$λ=\frac{a}=\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是中檔題．