Question

【題目】已知數(shù)列，如果存在常數(shù)p，使得對(duì)任意正整數(shù)n，總有成立，那么我們稱數(shù)列為“p-擺動(dòng)數(shù)列”．

（Ⅰ）設(shè)，，，判斷、是否為“p-擺動(dòng)數(shù)列”，并說明理由；

（Ⅱ）已知“p-擺動(dòng)數(shù)列”滿足，，求常數(shù)p的值；

（Ⅲ）設(shè)，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列”，并求出常數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）數(shù)列不是“p-擺動(dòng)數(shù)列”，數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列”，詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析，p的取值范圍是.

【解析】

（Ⅰ）假設(shè)數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列”，通過對(duì)取特殊值，可以證明出數(shù)列不是“p-擺動(dòng)數(shù)列”；

通過數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)運(yùn)算的法則，結(jié)合“p-擺動(dòng)數(shù)列”的定義，可以證明出數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列”；

（Ⅱ）利用遞推公式，可以求出的值，由是“p-擺動(dòng)數(shù)列”，這樣可以求出常數(shù)p的取值范圍，通過是“p-擺動(dòng)數(shù)列”的定義，可以得到奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)與p的大小關(guān)系，這樣利用通項(xiàng)公式最后可以求出常數(shù)p的值；

（Ⅲ）分類討論：分別當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，求出，最后確定的表達(dá)式，根據(jù)“p-擺動(dòng)數(shù)列”的定義，可以證明數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列，分別當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)、當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，利用的單調(diào)性，求出常數(shù)p的取值范圍即可．

解：（Ⅰ）假設(shè)數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列”，

即存在常數(shù)p，總有對(duì)任意成立，

不妨取時(shí)，則；取時(shí)，則，顯然常數(shù)p不存在，

所以數(shù)列不是“p-擺動(dòng)數(shù)列”

由，于是對(duì)任意成立，其中．

所以數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列”．

（Ⅱ）由數(shù)列為“p-擺動(dòng)數(shù)列”，又，

所以，即存在常數(shù)，使對(duì)任意，總有成立，及，所以．

因?yàn)?/span>，所以．

同理因?yàn)?/span>，所以．所以，即，

解得，即．

同理，解得，即．

綜上．

（Ⅲ）證明：由，．

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．

所以，．

顯然存在，使對(duì)任意正整數(shù)n，總有成立，

所以數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列”．

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，因?yàn)?/span>，單調(diào)遞減，所以，只要即可．

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，，只要即可．

綜上，，所以p的取值范圍是．