Question

【題目】已知點(diǎn)E在橢圓上，以E為圓心的圓與x軸相切于橢圓C的右焦點(diǎn)，與y軸相交于A，B兩點(diǎn)，且是邊長(zhǎng)為2的正三角形．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知圓，設(shè)圓O上任意一點(diǎn)P處的切線交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出的值；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，坐標(biāo)為，且為定值

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)圓的切線性質(zhì)可以知道，這樣可以求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用等邊三角形的性質(zhì)，可以求出、的值，再根據(jù)，最后求出的值，也就求出橢圓C的方程；

（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P且與圓O相切的切線的斜率不存在時(shí)，設(shè)出直線方程，求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷是否成立，可以判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)，也就能求出的值；

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P且與圓O相切的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的截距式方程，設(shè)出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線和圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，可得到一個(gè)等式，

聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，計(jì)算的值，最后可以求出的值.

解：（Ⅰ）由題意可得軸，則，

因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

所以

，且，

解得，，

所以橢圓方程為．

（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P且與圓O相切的切線的斜率不存在時(shí)，

可設(shè)切線方程為，可得，，

則，所以，

此時(shí)以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，

為定值；

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P且與圓O相切的切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)切線方程為，，，

由直線和圓相切可得，即，

聯(lián)立直線方程和橢圓方程，

可得，

即有，，，

，

可得，

此時(shí)．

綜上可得以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，且為定值．