Question

【題目】已知，.

（1）若，判斷函數(shù)在的單調(diào)性；

（2）證明： ，；

（3）設(shè) ，對(duì)，，有恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）在單調(diào)遞增（2）見(jiàn)解析（3）2

【解析】

(1)計(jì)算導(dǎo)函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,即可.(2)利用,得到 ,采用裂項(xiàng)相消法,求和,即可.(3)計(jì)算導(dǎo)函數(shù),構(gòu)造新函數(shù),判斷最小值,構(gòu)造函數(shù),計(jì)算范圍,得到k的最小值，即可。

解：（1）.

又，因此，而，

所以，故在單調(diào)遞增.

（2）由（1）可知時(shí)，，

即，

設(shè)，則

因此

即

.

即結(jié)論成立.

（3）由題意知，

，

設(shè)，

則，

由于，故，

時(shí)，單調(diào)遞增，又，，

因此在存在唯一零點(diǎn)，使，即，

且當(dāng)，，，單調(diào)遞減；

，，，單調(diào)遞增；

故 ，

故

，

設(shè)

，又設(shè)

故在上單調(diào)遞增，因此，

即，在單調(diào)遞增，

，

又，

所以，

故所求的最小值為.