【題目】已知函數在上是增函數.
求實數的值;
若函數有三個零點,求實數的取值范圍.
【答案】(1);(2)
【解析】
根據分段函數的單調性,結合導數判斷函數在上單調遞增即可;
討論時不滿足題意,則,根據分段函數單調可知在時,已經存在兩個零點,在等價為當時,有且只有一個零點,利用參變分離法結合圖象進行求解即可。
解:當時,是增函數,且,
故當時,為增函數,即恒成立,
當時,函數的導數恒成立,
當時,,此時相應恒成立,即恒成立,即恒成立,
當時,,此時相應恒成立,即恒成立,即恒成立,
則,即.
若,則在上是增函數,此時最多有一個零點,不可能有三個零點,則不滿足條件.
故,
當時,有一個零點,
當時,,故0也是故的一個零點,
故當時,有且只有一個零點,即有且只有一個解,
即,得,,
則,在時有且只有一個根,
即與函數,在時有且只有一個交點,
,
由得,即得,得,此時函數遞增,
由得,即得,得,此時函數遞減,
即當時,函數取得極小值,此時極小值為
,
,
作出的圖象如圖,
要使與函數,在時有且只有一個交點,
則或,
即實數的取值范圍是.
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A.13B.14C.15D.16
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參考數據及公式如下:
A. 12B. 11C. 10D. 18
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