Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+2x．
（1）求x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)g（x）=f（x）-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2，當(dāng)x∈[1，2]，記函數(shù)g（x）的最大值與最小值之差為M（a），求M（a）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)x＞0，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，從而得到函數(shù)的解析式；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，通過(guò)讀圖，得到g（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）先求出g（x）的表達(dá)式，求出對(duì)稱軸，通過(guò)討論對(duì)稱軸的位置，得到函數(shù)g（x）的最值，從而求出M（a）的表達(dá)式．

解答： 解：（1）設(shè)x＞0，則-x＜0，
∴f（-x）=x²-2x，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴x＞0時(shí)，f（x）=x²-2x；
（2）由（1）得：f（x）=

x2+2x，(x≤0) x2-2x，(x＞0)

，
畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖示：
，
∴當(dāng)a＜-1時(shí)，g（x）無(wú)零點(diǎn)，
當(dāng)a=-1時(shí)，g（x）有2個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，g（x）有4個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a=0時(shí)，g（x）有3個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）有2個(gè)零點(diǎn)；
（3）當(dāng)x∈[1，2]，f（x）=x²-2x，
∴g（x）=f（x）-2ax+2=x²-2（a+1）x+2，
對(duì)稱軸x=a+1，g（1）=-2a+1，g（2）=-4a+2，
①a+1≤1，即a≤0時(shí)，g（x）在[1，2]遞增，
∴g（2）最大，g（1）最小，
∴M（a）=g（2）-g（1）=-2a+1，
②1＜a+1＜

3

2

，即0＜a＜

1

2

時(shí)，g（x）在[1，a+1）遞減，在（a+1，2]遞增，
∴g（2）最大，g（a+1）最小，
∴M（a）=g（2）-g（a+1）=a²-2a+1，
③

3

2

≤a+1＜2，即

1

2

≤a＜1時(shí)，g（x）在[1，a+1）遞減，在（a+1，2]遞增，
∴g（1）最大，g（a+1）最小，
∴M（a）=g（1）-g（a+1）=a²，
④a+1≥2，即a≥1時(shí)，g（x）在[1，2]遞減，
∴g（1）最大，g（2）最小，
∴M（a）=g（1）-g（2）=-a²-2a+1，
綜上：M（a）=

-2a+1，a≤0 a2-2a+1，0＜a＜ 1 2 a2， 1 2 ≤a＜1 -a2-2a+1，a≥1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的基礎(chǔ)上問(wèn)題，考查了函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，函數(shù)的最值問(wèn)題，是一道中檔題．