Question

直線與圓、橢圓、雙曲線交于A（x₁，y₁）、B（x₂、y₂）兩點(diǎn)，P（x，y）為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為曲線的對(duì)稱中心，研究K_AB•K_PM的值．
（1）在圓中，若AB是圓M的一條弦，P是弦AB的中點(diǎn)，則K_AB•K_PM=

 

；
（2）將橢圓類比于圓，中心類比于圓心，你能提出怎樣類似的問(wèn)題？并證明．（以焦點(diǎn)在x軸上為例）
（3）你能從以上問(wèn)題，運(yùn)用類比思想，大膽猜想，探究出雙曲線中類似的結(jié)論嗎？并證明（以焦點(diǎn)在x軸上為例）．你能總結(jié)出一個(gè)上述問(wèn)題的統(tǒng)一結(jié)論嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的共同特征

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由垂徑定理，得AB⊥PM，由此能求出K_AB•K_PM=-1．
（2）設(shè)AB是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的不平行于對(duì)稱軸的一條弦，P為AB的中點(diǎn)，M是橢圓中心，則K_AB•K_PM=-

b2

a2

．利用點(diǎn)差法證明即可．
（3）AB是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的不平行于對(duì)稱軸的一條弦，P為AB的中點(diǎn)，M是雙曲線中心，則K_AB•K_PM=

b2

a2

．利用點(diǎn)差法證明即可．

解答： 解：（1）由垂徑定理，得AB⊥PM，
∴K_AB•K_PM=-1．
故答案為：-1．
（2）設(shè)AB是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的不平行于對(duì)稱軸的一條弦，
P為AB的中點(diǎn)，M是橢圓中心，則K_AB•K_PM=-

b2

a2

．
證明：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂、y₂）兩點(diǎn)，P（x₀，y₀），
∵A，B在橢圓上∴b2x12+a2y12=a2b2，b2x22+a2y22=a2b2，
兩式相減，得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(

y

1

+y2)=0，
整理，得

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=-

b2

a2

，
∴

y1-y2

x1-x2

•

2y0

2x0

=K_AB•K_PM=-

b2

a2

．
（3）AB是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的不平行于對(duì)稱軸的一條弦，
P為AB的中點(diǎn)，M是雙曲線中心，則K_AB•K_PM=

b2

a2

．
證明：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂、y₂）兩點(diǎn)，P（x₀，y₀），
∵A，B在雙曲線上，
∴b2x12-a2y12=a2b2，b2x22-a2y22=a2b2，
兩式相減，得b2(x1-x2)(x1+x2)-a2(y1-y2)(

y

1

+y2)=0，
整理，得

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=

b2

a2

，
∴

y1-y2

x1-x2

•

2y0

2x0

=K_AB•K_PM=

b2

a2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線中K_AB•K_PM的值的探究，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．