Question

如圖，△ABC外一點(diǎn)S，且SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AM⊥SB，AN⊥SC
（1）求證：SC⊥平面AMN；
（2）如果SA=AC=2，∠BSC=θ，當(dāng)tanθ取何值時(shí)，△AMN的面積最大，并求最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,三角形的面積公式,截面及其作法

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）聯(lián)想判定定理，要證明SC⊥平面AMN，需證明SC垂直于平面AMN中的兩條相交直線．已知ANSC，尚缺條件SC⊥AM于是考慮從其它條件所具備的性質(zhì)中去尋找．
（2）判斷AM與MN垂直，然后求出AM，用θ表示三角形的面積，根據(jù)解析式的特點(diǎn)求最大值．

解答： （1）證明：∵SA⊥平面ABC，而AB為SB在平面ABC內(nèi)的射影，
又由∠ABC=90°，知BC⊥AB，由三垂線定理，BC⊥SB，
∴BC⊥平面SAB，
∵AM?平面SAB，∴BC⊥AM，∴AM⊥平面SBC，∴SC⊥AM，
∵AN⊥SC，
∴SC⊥平面AMN．
（2）解：在Rt△SAC中，SA=AC=2，∴SC=2

2

，∵AN⊥SC，∴AM=

1

2

SC=

2

，∴SN=BN=

2

．
又∵SC⊥面AMN，MN?平面AMN．∴SC⊥MN．∵M(jìn)N=SN•tanθ=

2

tanθ，
∵AM⊥平面SBC，MN?平面SBC．∴AM⊥MN．
∵AM=

AN2-MN2

=

( 2 )2-( 2 tanθ)2

=

2-2tan2θ

，
∴S_△AMN=

1

2

AM×MN=

1

2

2

1-tan2θ

2

tanθ=

tan2θ(1-tan2θ)

≤

tan2θ+1-tan2θ

2

=

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)tan²θ=1-tan²θ 等號(hào)成立．
∴當(dāng)tan²θ=

1

2

，即tanθ=

2

2

時(shí)，S_△AMN有最大值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題在運(yùn)用判定定理證明線面垂直時(shí)，將問(wèn)題化為利用定義證明線線垂直；而證明此線線垂直時(shí)，又轉(zhuǎn)化為利用判定定理證明線面垂直，利用定義轉(zhuǎn)化為證明線線垂直．