12.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線y=2與y的軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且|QF|=2|PQ|.
(1)求C的方程;
(2)邊焦點(diǎn)F的直線l斜率為-1,判斷C上是否存在兩點(diǎn)M,N,使得M,N關(guān)于直線l對(duì)稱,若存在,求出|MN|,若不存在,說(shuō)明理由.

分析 (1)設(shè)Q(x0,2),代入拋物線方程,結(jié)合拋物線的定義,可得p=2,進(jìn)而得到拋物線方程;
(2)設(shè)直線l的方程為x+y-1=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),假設(shè)不存在M,N,使得M,N關(guān)于直線l對(duì)稱,得出矛盾即可.

解答 解:(1)設(shè)Q(x0,2),P(0,2)代入由y2=2px(p>0)中得x0=$\frac{2}{p}$,
所以|PQ|=$\frac{2}{p}$,|QF|=$\frac{p}{2}$+$\frac{2}{p}$,
由題設(shè)得$\frac{p}{2}$+$\frac{2}{p}$=2×$\frac{2}{p}$,解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程為y2=4x.
(2)設(shè)直線l的方程為x+y-1=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則kMN=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$,
MN的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為($\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{8}$,$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$),
∵M(jìn),N關(guān)于直線l對(duì)稱,∴MN⊥l,∴$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=1①,
∵中點(diǎn)T在直線l上,∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{8}$+1②,
由①②可得y1+y2=4,y1y2=4,
∴y1,y2是方程y2-4y+4=0的兩個(gè)根,此方程有兩個(gè)相等的根,
∴C上不存在M,N,使得M,N關(guān)于直線l對(duì)稱.

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,屬于中檔題.

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