Question

n²（n≥4）個(gè)正數(shù)排成n行n列：其中每一行的數(shù)由左至右成等差數(shù)列，每一列的數(shù)由上至下成等比數(shù)列，并且所有公比相等，已知a₂₄=1，a42=

1

8

，a43=

3

16

，試求a₁₁+a₂₂+…+a_nn的值．

Answer 1

分析：設(shè)出a₁₁，第一行數(shù)的公差，第一列數(shù)的公比；求出表中通項(xiàng)a_st，據(jù)通項(xiàng)將a₂₄，a₄₂，a₄₃用首項(xiàng)，公差、公比
表示，列出方程組求出首項(xiàng)、公差、公比；求出a_kk，據(jù)a_kk的特點(diǎn)，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和．

解答：解：設(shè)a₁₁=a，第一行數(shù)的公差為d，第一列數(shù)的公比為q，可得a_st=[a+（t-1）d]q^s-1
又設(shè)第一行數(shù)列公差為d，各列數(shù)列的公比為q，則第四行數(shù)列公差是dq³，
于是可得

a24=(a11+3d)q=1 a42=(a11+d)q3= 1 8 a43=a42+dq3= 3 16

（3分）
解此方程組，得a11=d=q=±

1

2

，由于給n²個(gè)數(shù)都是正數(shù)，必有q＞0，從而有a11=d=q=

1

2

，..（4分）
于是對(duì)任意的1≤k≤n，有akk=a1kqk-1=[a11+(k-1)d]qk-1=

k

2k

．（6分）
得S=

1

2

+

2

22

+

3

23

++

n

2n

，．（8分）
又

1

2

S=

1

22

+

2

23

+

3

24

++

n

2n+1

..（10分）
兩式相減后得：

1

2

S=

1

2

+

1

22

+

1

23

++

1

2n

-

n

2n+1

．（12分）
所以S=2-

1

2n-1

-

n

2n

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和，先求出數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．