Question

n²（n≥4）個正數(shù)排成如右表所示的n行n列：

a11，a12，a13，…，a1n a21，a22，a23，…，a2n …，…，…，… … an1，an2，an3，…，ann

，其中第一行從左到右成等差數(shù)列，每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比均相等．若已知a42=

1

4

，a43=

3

8

，a24=2，則a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn=

4-

4+2n

2n

．

Answer 1

分析：設(shè)出a₁₁，第一行數(shù)的公差，第一列數(shù)的公比，求出表中通項a_st，據(jù)通項及條件，即可求得首項、公差、公比，進而可求出a_kk，再利用錯位相減法求出數(shù)列的和．

解答：解：設(shè)a₁₁=a，第一行數(shù)的公差為d，第一列數(shù)的公比為q，可得a_st=[a+（t-1）d]q^s-1，第四行數(shù)列公差是dq³，
于是可得 a₂₄=（a₁₁+3d）q=2，a₄₂=（a₁₁+d）q³=

1

4

，a₄₃=a₄₂+dq³=

3

8

，解得a₁₁=d=1，q=

1

2

，
于是對任意的1≤k≤n，有a_kk=a_1kq^k-1=[a₁₁+（k-1）d]q^k-1=

k

2k-1

∴S=

1

20

+

2

21

+…+

n

2n-1

又

1

2

S=

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

兩式相減后得：

1

2

S=1+

1

21

+…+

1

2n-1

-

n

2n

∴S=4-

4+2n

2n

．

點評：本題考查歸納推理，考查求數(shù)列的前n項和，數(shù)列的通項，根據(jù)數(shù)列通項的特點選擇合適的求和方法是關(guān)鍵．