在中,
,
,
.
(1)求的值;
(2)求的值.
20.本大題滿分12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,且PD = AB = a,E是PB的中點,F為AD中點.
(1)求異面直線PD、AE所成的角;
(2)求證:EF⊥平面PBC.
(3)求二面角F-PC-E的大小.
解:(1)在中,由
,得
, 又由正弦定理
得:.
(2)由余弦定理:得:
,
即,解得
或
(舍去),所以
.
所以,
. 即
.
方法一
(1)解:以D為原點,以直線DA、DC、DP分別為x軸、y軸、z軸,建立直角坐標(biāo)系,
則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),P(0,0,a),E ∴
,
,
又∵,故
故異面直線AE、DP所成角為.
(2)解:∵F∈平面PAD,故設(shè)F(x,0,z),則有
∵EF平面PBC,∴
且
,即
又∵,
∴,從而
,
∴,取AD的中點即為F點.
(3)解:∵PD⊥平面ABCD,∴CD是PC在平面ABCD上的射影.
又∵CD⊥BC,由三垂線定理,有PC⊥BC.
取PC的中點G,連結(jié)EG,則EG∥BC,∴EG⊥PC
連結(jié)FG,∵EF⊥平面PBC,∴EG是FG在平面PBC上的射影,且PC⊥EG,
∴FG⊥PC,∴∠FGE為二面角F-PC-E的平面角 ∵,∴
∴,∴二面角F-PC-E的大小為
. 方法二
(1)解:連AC、BD交于H,連結(jié)EH,則EH∥PD,
∴∠AEH異面直線PD、AE所成的角
∵,
∴,即異面直線AE、DP所成角為
.
(2)解:F為AD中點.
連EF、HF,∵H、F分別為BD、AD中點,∴HF∥AB,故HF⊥BC
又EH⊥BC,∴BC⊥平面EFH,因此BC⊥EF
又,
E為PB中點,∴EF⊥PB,∴EF⊥平面PBC.
(3)解:∵PD⊥平面ABCD,∴CD是PC在平面ABCD上的射影.
又∵CD⊥BC,由三垂線定理,有PC⊥BC.
取PC的中點G,連結(jié)EG,則EG∥BC,∴EG⊥PC
連結(jié)FG,∵EF⊥平面PBC,∴EG是FG在平面PBC上的射影,且PC⊥EG,
∴FG⊥PC,∴∠FGE為二面角F-PC-E的平面角 ∵,
∴,∴二面角F-PC-E的大小為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)f(x)=滿足對任意x1≠x2,都有
>0成立,則a的取值范圍是
( )
A.(0,3) B.(1,3)
C. (0,] D.(3, +∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
若復(fù)數(shù)滿足
是虛數(shù)單位),則
的共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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