Question

在中，，，.

（1）求的值；

（2）求的值.

20．本大題滿分12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD = AB = a，E是PB的中點，F為AD中點．
(1)求異面直線PD、AE所成的角；
(2)求證：EF⊥平面PBC．
(3)求二面角F－PC－E的大小．

Answer 1

解：（1）在中，由，得， 又由正弦定理

得：.

（2）由余弦定理：得：，

即，解得或（舍去），所以.

所以，

. 即.

方法一
　　(1)解：以D為原點，以直線DA、DC、DP分別為x軸、y軸、z軸,建立直角坐標(biāo)系，
　　則A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，P(0，0，a)，E 　　∴，，
　　又∵，故
　　故異面直線AE、DP所成角為．

(2)解：∵F∈平面PAD，故設(shè)F(x，0，z)，則有
　　∵EF平面PBC，∴且，即
　　又∵，
　　∴，從而，
　　∴，取AD的中點即為F點．

(3)解：∵PD⊥平面ABCD，∴CD是PC在平面ABCD上的射影．
　　又∵CD⊥BC，由三垂線定理，有PC⊥BC．
　　取PC的中點G，連結(jié)EG，則EG∥BC，∴EG⊥PC
　　連結(jié)FG，∵EF⊥平面PBC，∴EG是FG在平面PBC上的射影，且PC⊥EG，
　　∴FG⊥PC，∴∠FGE為二面角F－PC－E的平面角 　　∵，∴
　　∴，∴二面角F－PC－E的大小為． 方法二
　　(1)解：連AC、BD交于H，連結(jié)EH，則EH∥PD，
　　∴∠AEH異面直線PD、AE所成的角
　　∵，
　　∴，即異面直線AE、DP所成角為．

(2)解：F為AD中點．
　　連EF、HF，∵H、F分別為BD、AD中點，∴HF∥AB，故HF⊥BC
　　又EH⊥BC，∴BC⊥平面EFH，因此BC⊥EF
　　又，
　　E為PB中點，∴EF⊥PB，∴EF⊥平面PBC．

(3)解：∵PD⊥平面ABCD，∴CD是PC在平面ABCD上的射影．
　　又∵CD⊥BC，由三垂線定理，有PC⊥BC．
　　取PC的中點G，連結(jié)EG，則EG∥BC，∴EG⊥PC
　　連結(jié)FG，∵EF⊥平面PBC，∴EG是FG在平面PBC上的射影，且PC⊥EG，
　　∴FG⊥PC，∴∠FGE為二面角F－PC－E的平面角 　　∵，
　　∴，∴二面角F－PC－E的大小為．