Question

【題目】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，、分別為棱、上的點(diǎn)，且與頂點(diǎn)不重合.

（1）若直線與相交于點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線；

（2）若、分別為、的中點(diǎn).

（ⅰ）求證：幾何體為棱臺(tái)；

（ⅱ）求棱臺(tái)的體積.

（附：棱臺(tái)的體積公式，其中、分別為棱臺(tái)上下底面積，為棱臺(tái)的高）

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）

【解析】

（1）由平面，平面，平面平面，根據(jù)點(diǎn)在兩個(gè)不重合的面內(nèi)，則點(diǎn)在兩個(gè)面的公共線上即可證出.

（2）（�。┻B，、分別為棱、的中點(diǎn)，證出四邊形為梯形，從而可得與相交，再由（1）可得直線、、交于一點(diǎn)，由平面平面，即可證出.

（ⅱ）求出，，以及棱臺(tái)的高，代入棱臺(tái)的體積公式即可求解.

證明：（1），

，，

平面，平面，

平面，平面，

即點(diǎn)為平面與平面的公共點(diǎn).

又平面平面，

，即、、三點(diǎn)共線.

（2）（�。┻B，

、分別為棱、的中點(diǎn)，

為的中位線，

，，

，，

四邊形為平行四邊形.

，，

，，

四邊形為梯形，

與相交.

由（1）知：直線、、交于一點(diǎn)，

又平面平面，

幾何體為三棱臺(tái).

（ⅱ）由題意：，，，

，

即棱臺(tái)的體積是.