Question

給出下列命題：
①若平面α內(nèi)有三個不共線的點到平面β的距離相等，則α∥β；
②P是異面直線a，b外一點，則過P與直線a，b都平行的平面有且只有一個；
③在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PD，P在面ABC的射影為O，則O為△ABC的重心；
④在四面體的各個面中，直角三角形的個數(shù)最多有4個；
其中正確命題的個數(shù)為（　�。�

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①，當(dāng)平面α與平面β相交時，平面α內(nèi)有三個不共線的點到平面β的距離相等，可判斷①；
②，利用反證法，假設(shè)過P與直線a，b都平行的平面有2個，可導(dǎo)出矛盾，從而可判斷②；
③，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，可判斷P在面ABC的射影O為△ABC的外心，由此可判斷③；
④，作出圖形，可判斷在四面體的各個面中，直角三角形的個數(shù)最多有4個，可判斷④．

解答： 解：對于①，當(dāng)平面α與平面β相交時，α內(nèi)在平面β的兩側(cè)存在三點到平面β的距離相等，故①錯誤；
對于②，假設(shè)過P與直線a，b都平行的平面有2個，分別為α與β，α∩β=l，P∈l，由線面平行的性質(zhì)定理可知，a∥l，b∥，于是得：a∥b，這與a、b異面矛盾，
故假設(shè)不成立，所以過P與直線a，b都平行的平面有且只有一個，即②正確；
對于③，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，P在面ABC的射影為O，
則OA=OB=OC，則O為△ABC的外心，故③錯誤；
對于④，在四面體的各個面中，PA⊥底面ABC，∠ABC=

π

2

，如圖，

則∠PAB，∠PAC，∠PBC，∠ABC均為直角（每個面中一個），
直角三角形的個數(shù)有4個，為最多的情況，故④正確；
綜上所述，正確命題的個數(shù)為2個，
故選：C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查空間直線與直線之間的位置關(guān)系，考查三角形的外心的性質(zhì)，反證法的應(yīng)用，屬于中檔題．