Question

已知函數f（x）=alnx-x²．
（1）當a=2時，求函數y=f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的最大值；
（2）令g（x）=f（x）+ax，若y=g（x）在（0，3）不單調，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）由導函數值的正負得到函數的單調性和最值情況，從而得到本題結論；
（2）由題意y=g（x）在（0，3）不單調，知道在區(qū)間（0，3）內導函數的異號，對應方程有根在區(qū)間（0，3）內，得到相應有關系式，解不等式得到本題結論．

解答： 解：（1）當a=2時，
函數f（x）=2lnx-x²，
∴f′（x）=

2

x

-2x=

2-2x2

x

=

-2(x+1)(x-1)

x

，（x＞0）．
∴當

1

2

＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當1＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
當x=1時，f′（x）=0，f（x）有極大值f（1）=-1．
∴函數y=f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的最大值為-1．
（2）∵g（x）=f（x）+ax，
∴g（x）=alnx-x²+ax，
∴g′（x）=

a

x

-2x+a=

-2x2+ax+a

x

．
∵y=g（x）在（0，3）不單調，
∴g′（x）=0在區(qū)間（0，3）內異號，
∴方程-2x²+ax+a=0有兩個不相等的實數根，且有根在區(qū)間（0，3）內．
∴記h（x）=2x²-ax-a，
由h（0）•h（3）＜0得：0＜a＜

9

2

；
由

h(0)＞0 h(3)＞0 0＜ a 4 ＜3 h( a 4 )＜0

知，此時無解；
由h（0）=0得a=0，h（x）=2x²，不合題意；
由h（3）=0得a=

9

2

，h（x）=2x²-

9

2

x-

9

2

=

1

2

(x-3)(4x+3)，不合題意．
綜上，0＜a＜

9

2

．
∴a的取值范圍是（0，

9

2

）．

點評：本題考查了函數的最值和導函數的知識，本題難度適中，屬于中檔題．