Question

在棱長為4的正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P在棱CC₁上，且CC₁=4CP，點(diǎn)E在棱A₁D₁上，且A₁D₁=4ED₁，求直線BE與平面APD₁所成角的正弦值

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：建立坐標(biāo)系求出

BE

=（-3，-4，4），

AP

=（-4，4，0），

AD1

=（-4，0，4），
設(shè)平面APD₁的法向量為

n

=（x，y，z），得出平面APD₁的法向量為

n

=（1，1，1），運(yùn)用cos＜

n

，

BE

＞=直線BE與平面APD₁所成角的正弦值求解．

解答： 解：分別以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，

∵在棱長為4的正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P在棱CC₁上，且CC₁=4CP，點(diǎn)E在棱A₁D₁上，且A₁D₁=4ED₁，
∴B（4，4，0），E（1，0，4），A（4，0，0），P（0，4，0），D₁（0，0，4），
∴

BE

=（-3，-4，4），

AP

=（-4，4，0），

AD1

=（-4，0，4），
設(shè)平面APD₁的法向量為

n

=（x，y，z），

n • AP =0 n • AD1 =0

-4x+4y=0 -4x+4z=0

，x=y=z=1，
∴cos＜

n

，

BE

＞=

-3

3 × 9+16+16

=

123

41

，
故為

123

41

，
故答案為：

123

41

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間直線與平面所成的角的計(jì)算問題，運(yùn)用平面的法向量求解，屬于中檔題，關(guān)鍵是求向量的坐標(biāo)．