Question

已知等比數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，且滿足S₃=

7

2

，S₆=

63

2

，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a₂₅的值．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等比數(shù)列的前n項和公式，將S₃和S₆展開，組成方程組，兩式相除，解出a₁和q，寫出通項公式．
（Ⅱ）先將第一問的結(jié)論代入，化簡log₂a_n，得到log₂a_n=n-2，所以可以證出數(shù)列{n-2}為等差數(shù)列，所以利用等差數(shù)列的前n項和公式進行求和化簡．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得，公比q≠1，再由S₃=

7

2

，S₆=

63

2

可得

a1(1-q3) 1-q = 7 2 a1(1-q6) 1-q = 63 2

，
解得

a1= 1 2 q=2

，故通項公式為 a_n=

1

2

•2^n-1=2^n-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得log₂a_n=n-2，
∴l(xiāng)og₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a₂₅
=-1+0+1+2+…+23
=

25(-1+23)

2

=275．

點評：本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式、數(shù)列求和及對數(shù)式的運算等數(shù)學(xué)知識，考查思維能力、分析問題解決問題的能力以及計算能力，屬于中檔題．