Question

為了保護(hù)一件珍貴文物，博物館需要在一種無色玻璃的密封保護(hù)罩內(nèi)充入保護(hù)氣體．假設(shè)博物館需要支付的：？罩內(nèi)該種氣體的體積比保護(hù)罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體費(fèi)用1千元；？需支付一定的保險(xiǎn)費(fèi)用，且支付的保險(xiǎn)費(fèi)用與保護(hù)罩容積成反比，當(dāng)容積為2立方米時(shí)，支付的保險(xiǎn)費(fèi)用為8千元．
（1）求需支付的保險(xiǎn)費(fèi)用ω與保護(hù)罩容積V之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求博物館支付總費(fèi)用y與保護(hù)罩容積V之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求博物館支付總費(fèi)用的最小值．

Answer 1

分析：（1）由支付的保險(xiǎn)費(fèi)用與保護(hù)罩容積成反比，當(dāng)容積為2立方米時(shí)，支付的保險(xiǎn)費(fèi)用為8千元，可求比例系數(shù)，從而可求ω與V之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用總費(fèi)用由兩部分組成可建立函數(shù)關(guān)系式．罩內(nèi)該種氣體的體積比保護(hù)罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體費(fèi)用1千元，則其費(fèi)用為1000（V-0.5），結(jié)合（1）可得函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用基本不等式可求最值，注意等號(hào)成立的條件．

解答：解：（1）設(shè)ω=

k

V

，∵8000=

k

2

，∴k=16000，∴ω=

16000

V

（1）由于罩內(nèi)該種氣體的體積比保護(hù)罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體費(fèi)用1千元，則其費(fèi)用為1000（V-0.5），所以總費(fèi)用為y=1000(V-0.5)+

16000

V

=1000V+

16000

V

-500（V＞0.5）
（3）y=1000V+

16000

V

-500≥7500，當(dāng)且僅當(dāng)1000V=

16000

V

，即V=4立方米時(shí)不等式取得等號(hào)
答：博物館支付總費(fèi)用的最小值為7500元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的建立及最值問題的研究，應(yīng)注意基本不等式成立的條件．