Question

為了保護(hù)一件珍貴文物，博物館需要在一種無色玻璃的密封保護(hù)罩內(nèi)充入保護(hù)氣體．假設(shè)博物館需要支付的總費(fèi)用由兩部分組成：①罩內(nèi)該種氣體的體積比保護(hù)罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體費(fèi)用1千元；②需支付一定的保險費(fèi)用，且支付的保險費(fèi)用與保護(hù)罩容積成反比，當(dāng)容積為2立方米時，支付的保險費(fèi)用為8千元．
（1）求博物館支付總費(fèi)用y與保護(hù)罩容積V之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求博物館支付總費(fèi)用的最小值．

Answer 1

分析：（1）先確定比例系數(shù)，再根據(jù)條件，即可確定博物館支付總費(fèi)用y與保護(hù)罩容積V之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用基本不等式求出函數(shù)的最值即可．

解答：解：（1）設(shè)y=

k

x

，把x=2，y=8000代入，得k=16000…（3分）
y=1000(V-0.5)+

16000

V

=1000V+

16000

V

-500（V＞0.5）…（8分）
（2）y=1000V+

16000

V

-500≥7500…（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)1000V=

16000

V

，即V=4立方米時不等式取得等號
所以，博物館支付總費(fèi)用的最小值為7500元．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)，注意基本不等式的使用條件．