Question

已知直線l：x-y+3=0及圓C：x²+（y-2）²=4，令圓C在x軸同側(cè)移動且與x軸相切．
（1）圓心在何處時，圓被直線l截得的弦最長？
（2）圓心在何處時，l與y軸的交點(diǎn)把弦分成1：2？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（1）依題意，當(dāng)圓心C（a，2）在直線l：x-y+3=0上時，圓被直線l截得的弦最長，為直徑的長；
（2）設(shè)圓C的方程為：（x-a）²+（y-2）²=4，將直線l的方程與圓C的方程聯(lián)立，可得2x²+2（1-a）x+a²-3=0，再設(shè)l與圓C的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），利用韋達(dá)定理與定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x₂=2（a-1），y₂=2a+1，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得到關(guān)于參數(shù)a的一元二次方程，解之即可．

解答： 解：（1）設(shè)圓心C（a，2），當(dāng)圓心C在直線l：x-y+3=0上，即C的坐標(biāo)為（-1，2）時，圓被直線l截得的弦最長，為直徑的長，為4；
（2）當(dāng)圓心C為（a，2）時，圓C的方程為：（x-a）²+（y-2）²=4，
聯(lián)立方程組

(x-a)2+(y-2)2=4 x-y+3=0

⇒2x²+2（1-a）x+a²-3=0，

設(shè)l與圓C的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），與y軸的交點(diǎn)M（0，3），則x₁+x₂=a-1，M分弦AB的比為1：2，
∴

x1+ 1 2 x2

1+ 1 2

=0，∴x₁=-

1

2

x₂，∴x₂=2（a-1），x₂-y₂+3=0，
∴y₂=2a+1，又（x₂，y₂）也在圓上，∴（2a-1-a）²+（2a+1-2）²=4，
即5a²-8a+1=0，a=

4± 11

5

，∴C（

4± 11

5

，2）．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查一元二次方程的解法，著重考查韋達(dá)定理與定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，是難題．