Question

【題目】如圖已知是邊長(zhǎng)為的正方形的中心，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，沿對(duì)角線把正方形折成二面角.

（1）證明：四面體的外接球的體積為定值，并求出定值；

（2）若二面角為直二面角，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由題意可知，四面體的外接球始終是以為直徑，即其半徑為2，點(diǎn)為球心的球，而與二面角大小無(wú)關(guān)，再由球的體積公式進(jìn)行計(jì)算，從而問題可得解；（2）由題意可考慮采用坐標(biāo)法，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出二面角兩個(gè)平面的法向量，再由向量的數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算，從而問題可得解.

試題解析：（1）∵為定值，與二面角大小無(wú)關(guān)，

∴ 四面體的外接球是以為球心，2為半徑的球，所以外接球的體積為

（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則，∴，，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，令，則，

∴，

又平面的法向量 為，∴，

∴二面角的余弦值為．