Question

已知分別為橢圓的上下焦點，其中也是拋物線的焦點，點是與在第二象限的交點，且.
（1）     求橢圓的方程；（5分）
（2）     已知點和圓，過點的動直線與圓相交于不同的兩
點，在線段上取一點,滿足且.
求證：點總在某定直線上.（7分）

Answer 1

（1）（2）見解析

(I)根據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)可求出c值，然后利用和拋物線的焦半徑公式求出點M的坐標(biāo)，根據(jù)點M在橢圓上，建立方程可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（3）     證明點Q總在一條直線上，就是證明點Q的坐標(biāo)總是滿足某條直線方程，設(shè)，由和可得四個方程，然后再結(jié)合點A、B都在圓上，對四個方程進(jìn)行變形求解
（1）由知，，設(shè)，因在拋物線上，故，又，則，得，而點
在橢圓上，有，又，所以橢圓方程為 （5分）
（2）設(shè)，由,得，即  ①    ②
由，得 ③   , ④ -------- （7分）
①③,得 , ②④,得 -----（9分）
兩式相加得 ,又點在圓
上,由(1)知,即在圓上,且,
（4）      ,即,點總在定直線上