Question

已知拋物線y²=4px（p＞0）上的動點M到定點A（1，0）的距離|MA|達到最小值時點M的位置記為M′，且|M′A|＜1，（1）求p的取值范圍 
（2）求點M′的軌跡方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)|M′A|=r，則r²=（x-1）²+y²，把y²=4px代入可得r²=（x+2p-1）²+4p-4p²．當x=1-2p＞0時，r²取得最小值4p-4p²＜1，即可得出；
（2）由（1）可得：

x=1-2p y2=4px

，化簡即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)|M′A|=r，則r²=（x-1）²+y²，
∵y²=4px，∴r²=（x-1）²+4px=（x+2p-1）²+4p-4p²．
當x=1-2p＞0時，r²取得最小值4p-4p²＜1，
解得0＜p＜

1

2

．
∴p的取值范圍是(0，

1

2

)．
（2）由（1）可得：

x=1-2p y2=4px

，化為y²=2x（1-x），
化為(x+1)2+

y2

2

=1（x≥0）．

點評：本題考查了拋物線與圓的方程及其性質(zhì)、兩點之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．