Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+e^x，g（x）=e^x+

1

2

x²-ax（a∈R）（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）當(dāng)a=

3

2

，設(shè)F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）定義：若函數(shù)φ（x）在定義域?yàn)閇m，n]（m＜n）上的值域?yàn)閇m，n]，則稱區(qū)間[m，n]為函數(shù)φ（x）的“同域區(qū)間”，在（1）的條件下，證明：函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)存在“同域區(qū)間”；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)于區(qū)間（2，3）內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出F（x）=f（x）-g（x）的表達(dá)式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可求F（x）的單調(diào)區(qū)間，
（2）根據(jù)“同域區(qū)間”的定義，建立方程關(guān)系，即可得到結(jié)論．
（3）根據(jù)不等式恒成立問題，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=

3

2

，設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

x²+

3

2

x，
則F（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
則F′（x）=

1

x

-x+

3

2

=-

(2x+1)(x-2)

2x

，
由F′（x）＞0，解得0＜x＜2，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
F′（x）＜0，解得x＞2，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．
（2）設(shè)F（x）=lnx-

1

2

x²+

3

2

x的定義域?yàn)閇m，n]，假設(shè)存在“同域區(qū)間”，
則由（1）知，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞增，
即

F(m)=m F(n)=n

，則

lnm- 1 2 m2+ 3 2 m=m lnn- 1 2 n2+ 3 2 n=n

，
也就是方程lnx-

1

2

x2+

3

2

=x在區(qū)間（0，2）上存在兩個(gè)相異的實(shí)根，
即2lnx-x²+x=0在區(qū)間（0，2）上存在兩個(gè)相異的實(shí)根，
即T（x）=2lnx-x²+x，則T′（x）=

2

x

-2x+1單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，T′（x）=

2

x

-2x+1＜0，
設(shè)m（x）=T′（x）=

2

x

-2x+1，
則m（

1

e

）=2e+1-

2

e

＞0，m（2）=-2＜0，即在區(qū)間（

1

e

，2）上必存在唯一的點(diǎn)x₀∈（

1

e

，2）使m（x₀）=0，
當(dāng)x∈（

1

e

，x₀），m（x）＞0，此時(shí)函數(shù)m（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（x₀，2），m（x）＜0，此時(shí)函數(shù)m（x）單調(diào)遞減，
T（

1

e

）=

e(-2e+1)-1

e2

＜0，
∵m（1）=1＞0，∴x₀＞1，即T（x）在（1，x₀）上遞增，
T（x₀）＞T（1）=0，T（2）=2ln2-4+2=2ln2-2=2（ln2-1）＜0，
∴T（x）=2lnx-x²+x，在區(qū)間（

1

e

，2）上有兩個(gè)不相等的解，
即方程2lnx-x²+x=0在區(qū)間（

1

e

，2）上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
從而函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)存在“同域區(qū)間”；
（3）不妨設(shè)2＜x₁＜x₂＜3，則f（x）=lnx+e^x，在區(qū)間（2，3）上單調(diào)遞增，
則有|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₂）-f（x₁），
∴|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|等價(jià)為|g（x₁）-g（x₂）|＜f（x₂）-f（x₁），
則f（x₁）-f（x₂）＜|g（x₁）-g（x₂）|＜f（x₂）-f（x₁），
即f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂）且g（x₁）+f（x₁）＜g（x₂）+f（x₂）恒成立，
從而f（x）-g（x）在（2，3）上單調(diào)遞增，求f（x）+g（x）在（2，3）上單調(diào)遞增，
即[f（x）-g（x）]′＞0，[f（x）+g（x）]′＞0，
∴命題等價(jià)為當(dāng)x∈（2，3）下

1 x -x+a≥0 1 x +2ex+x-a≥0

恒成立，
即

a≥x- 1 x a≤x+ 1 x +2ex

，解得

8

3

≤a≤

5

2

+2e2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，難度非常大．