Question

在數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和．已知4a_n=1+2S_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時(shí)，a₁•a₄•a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）是否存在等差數(shù)列{b_n}，使得對(duì)任意的n∈N^*，都有b₁•a_n+b₂•a_n-1+b₃•a_n-2+…+b_n-1•a₂+b_n•a₁=2ⁿ-

n

2

-1？若存在，試求出{b_n}的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得4a_n-1=2a_n．又4a₁=1+2a₁，解得a₁=

1

2

，可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由題意，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立，等價(jià)于2

n(3n+5)

2

＞2⁷⁶，可求得結(jié)果；
（3）假設(shè)存在，利用錯(cuò)位相減法，即可求得結(jié)果．

解答： 解：（1）∵4a_n=1+2S_n（n∈N^*），
∴4a_n-1=2a_n．∴

an

an-1

=2，
又4a₁=1+2a₁，解得a₁=

1

2

，
∴an=

1

2

•2n-1=2^n-2．
（2）由（1）知，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2=

1

2

×2²×2⁵×…×2^3n-4=2

n(3n+5)

2

，
a₇₈=2⁷⁶，
∴a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立，等價(jià)于2

n(3n+5)

2

＞2⁷⁶，
∴

n(3n+5)

2

＞76，解得n＜-

19

3

或n＞8，
故存在最小值為8的M，使得a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立．
（3）設(shè)存在數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，其通項(xiàng)為b_n=kn+b，則
∵b₁•a_n+b₂•a_n-1+b₃•a_n-2+…+b_n-1•a₂+b_n•a₁=2ⁿ-

n

2

-1，
∴b₁•2^n-1+b₂•2^n-2+…+2b_n-1+bn=2n+1-n+2，
兩式相減可得b₁•2^n-1+k（2^n-2+2^n-3+…+1）-

1

2

b_n=2n-

n

2

-1，
∴（k+

b

2

）-2ⁿ-

b

2

n-（k+

b

2

）=2n-

n

2

-1
∴

k+ b 2 =1 k=1

，
∴k=1，b=0
∴b_n=n，
即存在數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，其通項(xiàng)為b_n=n，
對(duì)任意n∈N^*，都有b₁•a_n+b₂•a_n-1+b₃•a_n-2+…+b_n-1•a₂+b_n•a₁=2ⁿ-

n

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題為等差、等比數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．