Question

已知點P₀（0，a₁）、P_n（a_n，a_n+1）（?n∈N^*）都在直線2x-y+1=0上．
（1）求證：{a_n+1}是等比數列；
（2）求數列{

n

an+1

}（n∈N^*）的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）依題意，2×0-a₁+1=0，2a_n-a_n+1+1=0，由此得到a_n+1+1=2a_n+1+1=2（a_n+1），從而證明{a_n+1}是等比數列．
（2）由（1）得

n

an+1

=

n

2n

，由此利用錯位相減法能求出數列{

n

an+1

}（n∈N^*）的前n項和S_n．

解答： （1）證明：依題意，2×0-a₁+1=0，解得a₁=1，
2a_n-a_n+1+1=0（?n∈N^*）…（2分）
∴a_n+1=2a_n+1…（3分）
a_n+1+1=2a_n+1+1=2（a_n+1）…（4分）
a₁+1=2≠0…（5分），
∴{a_n+1}是等比數列…（6分）
（2）由（1）得an+1=2n…（7分），

n

an+1

=

n

2n

…（8分）
依題意，Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

…（9分）
2Sn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

…（11分）
兩式相減得：Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

…（12分）
=2-

n+2

2n

…（13分）．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．