Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長均為a，側(cè)面B₁C₁CB⊥底面ABC，O是BC的中點，且AC₁⊥BC．
（Ⅰ）求證：AC₁⊥A₁B；
（Ⅱ）求直線B₁A與平面AOC₁所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用線面垂直證明線線垂直；
（Ⅱ）所以B₁C₁⊥面AOC₁，所以∠B₁AC₁就是所求的線面角，再解三角形．

解答： 解：（Ⅰ）連接A₁C，因四邊形A₁ACC₁是菱形，所以AC₁⊥A₁C------------4分
由已知AC₁⊥BC且BC∩A₁C=C
所以AC₁⊥面A₁BC------------6分
所以AC₁⊥A₁B；----------7分
（Ⅱ）因為AO是正△ABC的中線，所以BC⊥AO，又AC₁⊥BC，所以BC⊥面AOC₁-----------------9分
所以B₁C₁⊥面AOC₁，所以∠B₁AC₁就是所求的線面角，----------11分
所以BC⊥C₁O，
又因為側(cè)面?zhèn)让鍮₁C₁CB⊥底面ABC，側(cè)面B₁C₁CB∩底面ABC=BC
所以C₁O⊥面ABC，
因為C₁O=AO=

3

2

a，所以AC₁=

6

2

a，-----------13分
在Rt△AB₁C₁中，tan∠B₁AC₁=

a

6 a 2

=

6

3

-----------14分

點評：本題考查直線與直線垂直的判定，線面角的計算，考查計算能力，邏輯思維能力，是中檔題．