Question

已知直線l₁的方向向量為

a

=（1，3），且過(guò)點(diǎn)A（-2，3），將直線x-2y-1=0繞著它與x軸的交點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一個(gè)銳角α（tanα=

1

3

）得到直線l₂，直線l₃：（1-3k）x+（k+1）y-3k-1=0（k∈R）．
（1）求直線l₁和直線l₂的方程；
（2）當(dāng)直線l₁，l₂，l₃所圍成的三角形的面積為3時(shí)，求直線l₃的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：兩直線的夾角與到角問(wèn)題,直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）利用直線的方向向量求出直線的向量，然后求解直線l₁的方程，利用直線的傾斜角的關(guān)系求出直線l₂的斜率，然后求解直線方程；
（2）求出直線l₃過(guò)的定點(diǎn)A（-2，3），判斷A在l₁上，求出l₁與l₂的交點(diǎn)C，通過(guò)點(diǎn)A到l₂的距離，直線l₁，l₂，l₃所圍成的三角形的面積為3時(shí)，求出l₃與l₂的交點(diǎn)為B，然后求解所求l₃的方程．

解答： 解：（1）直線l₁的方向向量為

a

=（1，3），直線的斜率為：3，且過(guò)點(diǎn)A（-2，3），
所求直線方程為：y-3=3（x+2），
∴l(xiāng)₁：3x-y+9=0  （2分）
將直線x-2y-1=0繞著它與x軸的交點(diǎn)B（1，0），按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一個(gè)銳角α（tanα=

1

3

）得到直線l₂的斜率為：k=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1，所求正確方程為：y=x-1，
∴l(xiāng)₂：x-y-1=0 （5分）
（2）直線l₃：（1-3k）x+（k+1）y-3k-1=0（k∈R）．
得出l₃過(guò)定點(diǎn)A（-2，3），（7分）A在l₁：3x-y+9=0 上，
l₁與l₂的交點(diǎn)可以由

3x-y+9=0 x-y-1=0

，解得x=-5，y=-6，
∴C（-5，-6）（8分）
點(diǎn)A到l₂的距離為

|-2-3-1|

2

=3

2

  （9分），
直線l₁，l₂，l₃所圍成的三角形的面積為3時(shí)，l₃與l₂的交點(diǎn)為B，則|BC|=

2

，
設(shè)B（a，a-1），∴

(a+5)2+(a-1+6)2

=

2

，解得a=-4或a=-6，
a=-4時(shí)，B（-4-5），此時(shí)l₃的方程：4x-y+11=0   （11分），
a=-6時(shí)，B（-6，-7），此時(shí)l₃的方程：5x-2y+16=0（13分）
所求l₃的方程：4x-y+11=0或5x-2y+16=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，直線與直線的夾角公式的應(yīng)用，三角形的面積公式的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)．