Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面為菱形，底面，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，.

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）當(dāng)平面時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）

【解析】

(1)由已知可得PA可證平面，所以，可證平面，從而得到證明；（2）連接交于，當(dāng)平面時(shí)，，以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.求平面和平面PBD的法向量，利用兩個(gè)法向量的數(shù)量積計(jì)算即可得結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>底面，平面，

所以

又為菱形，連接交于，所以.

又因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面

又因?yàn)?/span>平面，所以，又因?yàn)?/span>

，平面，

平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面

所以.

（2）法一：因?yàn)?/span>平面，平面，

平面平面，

從而，

平面，又因?yàn)?/span>.以為原點(diǎn)，

分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，，，，

設(shè)平面的法向量為

因?yàn)?/span>，，

由，，得，

令，則，.

設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?/span>平面，

可設(shè)，

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，從而

法二：因?yàn)樵谄矫?/span>中，在平面中，，

從而為二面角的平面角，