Question

某大學(xué)自主招生測(cè)試題題庫(kù)中的試題分為A型和B型兩類，學(xué)生需從中任意抽取兩道A型試題與一道B型試題作答，答對(duì)一道A型試題得1分，B型得2分，若得分不低于2分，則測(cè)試合格．已知學(xué)生甲答對(duì)每道A型試題的概率為

1

2

，答對(duì)B型試題的概率為

1

3

，且每道試題答對(duì)與否互不影響．
（1）求學(xué)生甲合格的概率；
（2）設(shè)學(xué)生甲在測(cè)試中，答對(duì)A個(gè)數(shù)為m，答對(duì)B個(gè)數(shù)為n，設(shè)隨機(jī)變量Z=丨m-n丨，求Z的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）學(xué)生甲不合格是指甲答錯(cuò)1道A型試題且答錯(cuò)1道B型試題，或甲3道題全答錯(cuò)，由此利用對(duì)立事件的概率公式能求出學(xué)生甲合格的概率．
（2）由已知得Z的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出Z的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）∵學(xué)生甲不合格是指甲答錯(cuò)1道A型試題且答錯(cuò)1道B型試題，或甲3道題全答錯(cuò)，
∴學(xué)生甲合格的概率：P=1-

C

1 2

(

1

2

)(

1

2

)×

2

3

-

1

2

×

1

2

×

2

3

=

1

2

．
（2）由已知得Z的可能取值為0，1，2，
P（Z=0）=(1-

1

2

)(1-

1

2

)(1-

1

3

)+

C

1 2

(

1

2

)(1-

1

2

)×

1

3

=

1

6

+

1

6

=

1

3

，
P（Z=1）=

C

1 2

(

1

2

)(1-

1

2

)(1-

1

3

)+（1-

1

2

）（1-

1

2

）•

1

3

+

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

2

，
P（Z=2）=

1

2

×

1

2

×(1-

1

3

)=

1

6

，
∴Z的分布列為：

Z	0	1	2
P	1 3	1 2	1 6

EZ=0×

1

3

+1×

1

2

+2×

1

6

=

5

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．