Question

設函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

6

）+sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若f（

1

2

α-

π

6

）=

1

3

，且α∈（

π

2

，π），求f（α）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x+

π

3

），由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．
（2）由f（

1

2

α-

π

6

）=sinα=

1

3

，又α∈（

π

2

，π），可得cosα，sin2α，cos2α的值，由f（α）=sin（2α+

π

3

），根據(jù)兩角和的正弦公式和特殊角的三角函數(shù)值即可求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos（2x+

π

6

）+sin2x=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin（2x+

π

3

），
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z
（2）∵f（

1

2

α-

π

6

）=sin[2（

1

2

α-

π

6

）+

π

3

]=sinα=

1

3

，
又∵α∈（

π

2

，π），
∴可得：cosα=-

1-sin2α

=-

2 2

3

，sin2α=2sinαcosα=-

4 2

9

，cos2α=2cos²α-1=

7

9

∴f（α）=sin（2α+

π

3

）=

1

2

sin2α+

3

2

cos2α=

1

2

×(-

4 2

9

)+

3

2

×

7

9

=

7 3 -4 2

18

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，三角函數(shù)的圖象與性質，兩角和的正弦公式和特殊角的三角函數(shù)值的應用，屬于基本知識的考查．