Question

對于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“?”：a?b=

a2-ab， a≤b b2-ab， a＞b

，設(shè)f（x）=（3x-1）?（x-1）．且關(guān)于x的方程f（x）=m恰有三個不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意首先化簡函數(shù)f（x）=

2x(3x-1)，x≤0 -2x(x-1)，x＞0

；從而作函數(shù)的圖象輔助求解．

解答： 解：由題意，
當(dāng)x≤0時(shí)，3x-1≤x-1；
則f（x）=（3x-1）?（x-1）
=（3x-1）（3x-1-x+1）
=2x（3x-1）；
當(dāng)x＞0時(shí)，3x-1＞x-1；
則f（x）=（3x-1）?（x-1）
=（x-1）（-3x+1+x-1）
=-2x（x-1）；
則f（x）=

2x(3x-1)，x≤0 -2x(x-1)，x＞0

；
作函數(shù)f（x）=

2x(3x-1)，x≤0 -2x(x-1)，x＞0

的圖象如下，

不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，易知x₂+x₃=1；
而由0＜2x₁（3x₁-1）＜

1

2

及x₁＜0解得，
-

1

6

＜x₁＜0；
故

5

6

＜x₁+x₂+x₃＜1；
故答案為：（

5

6

，1）．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生對新定義的接受能力及函數(shù)的化簡，屬于基礎(chǔ)題．