Question

公比為正的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2a₁+a₂=a₃，S₃+2=a₄．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=log₂a_n，數(shù)列{

1

b nb n+1

}的前n項(xiàng)和為Tn，求T₂₀₁₃的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求出首項(xiàng)和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n，

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用錯(cuò)位相減法能求出T₂₀₁₃的值．

解答： 解：（1）由題意得2a1+a1q=a1q2，
∴q²-q-2=0，又q＞0，
解得q=2，
又S₃+2=a₄，∴

a1(1-23)

1-2

+2=a1•23，
解得a₁=2，
∴an=2×2n-1=2ⁿ．
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
∴T₂₀₁₃=

2013

2014

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前2013項(xiàng)的和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．