Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

2n-1

(an-1)(2an-1)

，記數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，其中n∈N^*，求證：

1

3

≤S_n＜

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：通過觀察條件a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1應想到兩邊同除以a_n²，這樣會得到(

an+1

an

)2-

an+1

an

-2=0，看到這個式子之后，你又發(fā)現(xiàn)可以將等式的左邊變成因式乘積的形式，即(

an+1

an

+1)(

an+1

an

-2)=0，所以得到

an+1

an

=2，所以數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，再根據(jù)a₂+a₄=2a₃+4求出a₁即可．對于第二問，先將b_n求出，bn=

2n-1

(2n-1)(2n+1-1)

，看到該式應想著能否把它變成兩項差的形式，變成兩項差為的是求和時，使和中的項互相抵消，它類似于將

1

n•(n+1)

變成

1

n

-

1

n+1

．所以將

bn

變成了bn=

1

2n-1

-

1

2n+1

，所以進行求和便發(fā)現(xiàn)，和中的一些項互相抵消，這樣便能求出S_n，再根據(jù)n的取值：n≥1，便可求出S_n的范圍，從而完成證明．

解答： 解：（1）∵a_n＞0，∴由a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1得：(

an+1

an

)2-

an+1

an

-2=0，∴(

an+1

an

+1)(

an+1

an

-2)=0，∴

an+1

an

=2；
∴數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列；
∴由a₂+a₄=2a₃+4得：2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2，∴an=2n．
（2）bn=

2n-1

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)
∴Sn=

1

2

[(

1

21-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1-1

)
∵n+1≥2，∴

1

2n+1-1

≤

1

3

，∴

1

2

(1-

1

2n+1

)≥

1

3

，且

1

2

(1-

1

2n+1-1

)＜

1

2

；
∴

1

3

≤Sn＜

1

2

．

點評：第一問可以由條件a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1得到an+12-anan+1-2an2=0，進一步得到（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，∴a_n+1=2a_n，到這應該看出{a_n}是等比數(shù)列了，這一步是解決本題的關(guān)鍵．對于第二問的關(guān)鍵就是求出bn=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)．做本題還需對等比數(shù)列的通項公式及求和公式比較熟練．