Question

已知圓C的圓心坐標(biāo)為（2，2），且和直線3x+4y-9=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使圓C與直線x-y+a=0交于A、B兩點(diǎn)，且滿足∠AOB=90°．若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)直線和圓相切的關(guān)系求出圓的半徑，即可求圓C的方程；
（2）將直線和圓聯(lián)立，根據(jù)條件∠AOB=90°．進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由于圓C與直線相切，故圓C的半徑是r=

|3×2+4×2-9|

32+42

=

5

5

=1，
則圓C的方程為：（x-2）²+（y-2）²=1．
（2）由x-y+a=0得y=x+a，代入圓的方程，得：
（x-2）²+（x+a-2）²=1，
整理得：2x²+（2a-8）x+a²-4a+7=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4-a，x₁x₂=

a2-4a+7

2

，
若∠AOB=90°成立，需

OA

⊥

OB

．
即

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（x₁+a）（x₂+a）=2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=a²+7≠0，
∴x₁x₂+y₁y₂≠0，
所以不存在a的值，滿足條件∠AOB=90°．

點(diǎn)評：本題主要考查圓的方程，利用直線和圓的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．