已知函數(shù)f（x）=x3+ax+b，a，b∈R的圖象記為曲線E，過(guò)一點(diǎn)A（
1
2
，-
3
8
）作曲線E的切線，這樣的切線有且僅有兩條．
（Ⅰ）求a+2b的值；
（Ⅱ）若點(diǎn)A在曲線E上，對(duì)任意的x∈[0，1]，求證：f（x）+|a+3b+1|+
1
2
≥0．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（Ⅰ）設(shè)出切點(diǎn)，求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)斜率相等列出方程，由條件知方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，即只要函數(shù)的兩個(gè)極值中有一個(gè)為0，即可得到答案；
（Ⅱ）分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可證明結(jié)論．
解答： （I）解：∵f（x）=x3+ax+b，a，b∈R，
∴f'（x）=3x2+a
設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），
則切線方程為y-y0=(3
x
2
0
+a)(x-x0)，
將點(diǎn)A(
1
2
，-
3
8
)代入得-
3
8
-y0=(3
x
2
0
+a)(
1
2
-x0)可化為16
x
3
0
-12
x
2
0
-4a-8b-3=0．
設(shè)g（x）=16x3-12x2-4a-8b-3，
∵g'（x）=48x2-24x，
∴y=g（x）的極值點(diǎn)為0，
1
2
，
∵過(guò)點(diǎn)A(
1
2
，-
3
8
)作曲線E的切線，這樣的切線有且僅有兩條，
∴g(0)=0或g(
1
2
)=0，
∴a+2b=-
3
4
或a+2b=-1
（Ⅱ）證明：∵點(diǎn)A在曲線E上，
∴a+2b=-1f(x)+|b|+
1
2
=x3+ax+b+|b|+
1
2

當(dāng)b≤0時(shí)，左邊=x3+ax+
1
2
=x3+(-1-2b)x+
1
2

令函數(shù)h(x)=x3+(-1-2b)x+
1
2
(0≤x≤1)，∵h(yuǎn)'（x）=3x2-（1+2b）
當(dāng)1+2b≤0時(shí)h'（x）≥0，函數(shù)y=h（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，h(x)≥h(0)=
1
2
≥0
當(dāng)1+2b＞0即0＞b＞-
1
2
時(shí)，由h'（x）＞0得x＞
2b+1
3

∴函數(shù)y=h（x）在[0，
2b+1
3
]上單調(diào)遞減，在[
2b+1
3
，1]上單調(diào)遞增，
∴h(x)≥h(
2b+1
3
)=
2b+1
3
2b+1
3
-(2b+1)
2b+1
3
+
1
2
=-
2(2b+1)
3
2b+1
3
+
1
2
≥-
2
3
1
2
+
1
2
＞0；
當(dāng)b＞0時(shí)，左邊=x3+(-1-2b)x+2b+
1
2
，
令函數(shù)k(x)=x3+(-1-2b)x+2b+
1
2
(0≤x≤1)，
∵k'（x）=3x2-（-1-2b），由k'（x）＞0得x＞
2b+1
3

當(dāng)
2b+1
3
≥1時(shí)，即b≥1時(shí)，函數(shù)y=k（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，k(x)≥k(1)=
1
2
≥0
當(dāng)0＜b＜1時(shí)，函數(shù)y=k（x）在[0，
2b+1
3
]上單調(diào)遞減，在[
2b+1
3
，1]上單調(diào)遞增k(x)≥k(
2b+1
3
)=-
2(2b+1)
3
2b+1
3
+(2b+1)-
1
2

令函數(shù)m(b)=-
2(2b+1)
3
2b+1
3
+(2b+1)-
1
2

設(shè)
2b+1
3
=t∈(
3
3
，1)，m(t)=-2t3+3t2-
1
2
在(
3
3
，1)上單調(diào)遞增，
∴m(t)＞m(
3
3
)＞0
綜上所述：f(x)+|a+3b+1|+
1
2
≥0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵．
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（3）若數(shù)列{cn}滿足cn=3n+2（-1）n-1λan（λ為非零常數(shù)），確定λ的取值范圍，使n∈N*時(shí)，都有cn+1＞cn．

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2
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（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{
1
Sn
}的前n項(xiàng)和公式．

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（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=
2n-1
(an-1)(2an-1)
，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，其中n∈N*，求證：
1
3
≤Sn＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)g（x）=ax3+2（1-a）x2-3ax在區(qū)間（-∞，
a
3
）內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是
 
．

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如圖ABCD是空間四邊形，E、F、G、H分別是四邊上的點(diǎn)，它們共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC=m，BD=n，則當(dāng)四邊形EFGH是菱形時(shí)，AE：EB=
 
．

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