Question

已知各項為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，

a

=（S_n，a_n+1），

b

=（a_n+1，4）且

a

∥

b

．
（1）求a_n；
（2）設(shè)函數(shù)f（n）=

an ， n為奇數(shù) f( n 2 )，  n為偶數(shù)

，c_n=f（2ⁿ+4）（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得Sn=

1

4

a

2 n

+

1

2

an+

1

4

，從而得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，進而得數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列，公差為2，首項為1，由此求出a_n=2n-1．
（2）由分段函數(shù)得到：c₁=f（6）=f（3）=a₃=5，c₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1，當(dāng)n≥3，n∈N^*時，cn=2n-1+1，由此能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵各項為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，

a

=（S_n，a_n+1），

b

=（a_n+1，4），且

a

∥

b

，
∴Sn=

1

4

a

2 n

+

1

2

an+

1

4

①，
當(dāng)n≥2時Sn-1=

1

4

a

2 n-1

+

1

2

an-1+

1

4

②，
①-②化簡得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又?jǐn)?shù)列{a_n}各項為正數(shù)，
∴當(dāng)n≥2時a_n-a_n-1=2，故數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列，公差為2，
又a1=S1=

1

4

a

2 1

+

1

2

a1+

1

4

，
解得：a₁=1，∴a_n=2n-1…（5分）
（2）由分段函數(shù)f(n)=

an n為奇數(shù) f( n 2 ) n為偶數(shù)

，
可以得到：c₁=f（6）=f（3）=a₃=5，
c₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1，
當(dāng)n≥3，n∈N^*時，
cn=f(2n+4)=f(2n-1+2)=f(2n-2+1)=2(2n-2+1)-1=2n-1+1，
故當(dāng)n≥3，n∈N^*時，
Tn=5+1+(22+1)+(23+1)+…+(2n-1+1)=6+

4(1-2n-2)

1-2

+(n-2)=2ⁿ+n，
∴T_n=

5，n=1 6，n=2 2n+n，n≥3，n∈N*

．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．