Question

已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若該集合具有下列性質(zhì)的子集：每個(gè)子集至少含有2個(gè)元素，且每個(gè)子集中任意兩個(gè)元素之差的絕對值大于1，則稱這些子集為T子集，記T子集的個(gè)數(shù)為a_n．
（1）當(dāng)n=5時(shí)，寫出所有T子集；
（2）求a₁₀；
（3）記S_n=

a3

23

+

a4

24

+

a5

25

+…+

an

2n

，求證：S_n＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=5時(shí)，利用列舉法能求出所有T子集．
（Ⅱ）{1，2，3，4，…，k，k+1，k+2}的T子集可分為兩類：第一類子集中不含有k+2，這類子集有a_k+1個(gè)；第二類子集中含有k+2，這類子集成為{1，2，3，4，…，k}的T子集與{k+2}的并，或?yàn)閧1，2，3，4，…，k}的單元素子集與{k+2}的并，共有a_k+k個(gè)，由此能求出a₁₀．
（Ⅲ）由Sn=

1

23

+

3

24

+

7

25

+…+

an

2n

，得

1

2

Sn=

1

24

+

3

25

+

4

26

+…+

an

2n+1

，由此利用錯(cuò)位相減法能證明S_n＜2

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=5時(shí)，所有T子集：
{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，4}，{2，5}，{3，5}，{1，3，5}．
（Ⅱ）{1，2，3，4，…，k，k+1，k+2}的T子集可分為兩類：
第一類子集中不含有k+2，這類子集有a_k+1個(gè)；
第二類子集中含有k+2，這類子集成為{1，2，3，4，…，k}的T子集與{k+2}的并，
或?yàn)閧1，2，3，4，…，k}的單元素子集與{k+2}的并，共有a_k+k個(gè)．
所以a_k+2=a_k+1+a_k+k．
因?yàn)閍₃=1，a₄=3，
所以a₅=7，a₆=14，a₇=26，a₈=46，a₉=79，a₁₀=133．
（Ⅲ）∵Sn=

1

23

+

3

24

+

7

25

+…+

an

2n

，①

1

2

Sn=

1

24

+

3

25

+

4

26

+…+

an

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Sn=

1

23

+(

2

24

+

4

23

+

7

26

+…+

an-2+n-2

2n

)-

an

2n+1

=

1

23

+

2

24

+

1

22

(

a2+4

24

+…+

an-2+n-2

2n

)-

an

2n-1

=

1

23

+

2

24

+

1

22

(

a2+3

23

+

a4+4

24

+…+

an-2+n-2

2n-1

)-

an

2n+1

=

1

2n

+

2

2n

+

1

22

Sn-1-(

3

23

+

4

24

+…+

n-2

2n

)-

an

2n+1

=

1

4

+

1

4

Sn-2+

1

4

-(

1

2

)n-1-

n-2

2n

-

an

2n+1

＜

1

4

+

1

4

Sn-2+

1

4

＜

1

2

+

1

4

Sn，
∴S_n＜2．

點(diǎn)評：本題考查所有T子集的求法，考查數(shù)列的第10項(xiàng)的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．