Question

2014年5月，北京市提出地鐵分段計價的相關(guān)意見，針對“你能接受的最高票價是多少？”這個問題，在某地鐵站口隨機(jī)對50人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖及被調(diào)查者中35歲以下的人數(shù)與統(tǒng)計結(jié)果如下：
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，求a的值，并估計眾數(shù)，說明此眾數(shù)的實際意義；
（Ⅱ）從“能接受的最高票價”落在[8，10），[10，12]的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取3人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的6人中35歲以上（含35歲）的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

最高票價	35歲以下人數(shù)
[2，4）	2
[4，6）	8
[6，8）	12
[8，10）	5
[10，12]	3

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由題意得：0.04×2+a×2+0.2×2+0.06×2+0.04×2=1，由此能求出a；由頻率分布直方圖估計眾數(shù)為7，說明在被調(diào)查的50人中，能接受最高票價為7元的人數(shù)比能接受最高票價為其他值得人數(shù)多．
（Ⅱ）由題意知，X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： （本題滿分13分）
（Ⅰ）由題意得：0.04×2+a×2+0.2×2+0.06×2+0.04×2=1，
解得a=0.16…（2分）
由頻率分布直方圖估計眾數(shù)為7，…（3分）
說明在被調(diào)查的50人中，能接受最高票價為7元的人數(shù)比能接受最高票價為其他值得人數(shù)多．…（4分）
（Ⅱ）由題意知，
50名被調(diào)查者中：選擇最高票價在[8，10）的人數(shù)為0.06×2×50=6人．
選擇最高票價在[10，12]的人數(shù)為0.04×2×50=4人   …（2分）
故X的可能取值為0，1，2，…（3分）
P(X=0)=

C 3 5

C 3 6

•

C 3 3

C 3 4

=

1

8

，
P(X=1)=

C 2 5 • C 1 1

C 3 6

•

C 3 3

C 3 4

+

C 3 5

C 3 6

•

C 2 3 • C 1 1

C 3 4

=

1

2

，
P(X=2)=

C 2 5 • C 1 1

C 3 6

•

C 2 3 • C 1 1

C 3 4

=

3

8

…（6分）
所以，X的分布列為：

X	0	1	2
P	1 8	1 2	3 8

EX=0×

1

8

+1×

1

2

+2×

3

8

=

5

4

…（9分）

點評：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合的合理運用，是中檔題．