Question

1．已知數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足${b_1}=1，{b_2}=\frac{1}{2}$，若n∈N^*時，a_nb_n+1-b_n+1=nb_n．
（Ⅰ）求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)${C_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求{C_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令n=1，可得a₁=3，結(jié)合{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，可得{a_n}的通項公式，將其代入已知條件a_nb_n+1-b_n+1=nb_n來求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用裂項相消法求和．

解答 解：（Ⅰ）∵a_nb_n+1-b_n+1=nb_n．
當n=1時，a₁b₂-b₂=b₁．
∵${b_1}=1，{b_2}=\frac{1}{2}$，
∴a₁=3，
又∵{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=2n+1，
則（2n+1）b_n+1-b_n+1=nb_n．
化簡，得
2b_n+1=b_n，即$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
所以數(shù)列{b_n}是以1為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
所以b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=2n+1，
所以${C_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
所以S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{n}{6n+9}$．

點評 本題考查的知識點是數(shù)列的遞推式，數(shù)列的通項公式，裂項相消法求和公式，難度中檔．