Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，且a₃=5，S₁₅=225．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）設(shè)b_n=a_n+1-

n

2n-1

，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)a₁、公差d，再求出通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）先求出b_n，根據(jù)b_n的特點(diǎn)利用分組求和、錯(cuò)位相減法求出前項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公差為d，
由題意得，

a1+2d=5 15a1+ 15×14 2 d=225

，解得

a1=1 d=2

                  
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1； 
（II）由（I）知，b_n=a_n+1-

n

2n-1

=2n-

n

2n-1

，
所以T_n=2（1+2+…+n）-（

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

），
設(shè)s=

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，①

1

2

s=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，②
①-②得，

1

2

s=1+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=1+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，則s=4-

n+2

2n-1

，
所以T_n=2×

n(n+1)

2

-(4-

n+2

2n-1

)=n(n+1)+

n+2

2n-1

-4．

點(diǎn)評(píng)：本題等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及數(shù)列求和方法：錯(cuò)位相減法和分組求和，屬于中檔題．