Question

如圖，在空間四邊形ABCD中，兩條對(duì)邊AB=CD=3，E、F分別是另外兩條對(duì)邊AD，BC上的點(diǎn)，

AE

ED

=

BF

FC

=

1

2

，EF=

5

，求AB和CD所成角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：在BD上取靠近B的三等分點(diǎn)G，連接FG、GE，可證∠EGF或其補(bǔ)角就是異面直線AB和CD所成角，在△EFG中由勾股定理的逆定理可得∠EGF=90°，可得答案．

解答： 解：（如圖）在BD上取靠近B的三等分點(diǎn)G，連接FG、GE，
在△BCD中，可得

BG

GD

=

BF

FC

，故有FG∥DC，
同理在△ABD中，可得GE∥AB，
所以∠EGF或其補(bǔ)角就是異面直線AB和CD所成角，
在△BCD中，由GE∥CD，CD=3，

FG

CD

=

1

3

，得FG=1，
在△ABD中，由EG∥AB，AB=3，

EG

AB

=

2

3

，得EG=2，
在△EFG中，由EG=2，F(xiàn)G=1，EF=

5

，則EG²+FG²=EF²，
由勾股定理的逆定理，可得∠EGF=90°，
所以異面直線AB和CD所成角為90°

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角的求法，涉及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，屬中檔題．