Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為直線的傾斜角），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）寫出曲線的直角坐標方程，并求時直線的普通方程；

（2）直線和曲線交于兩點，點的直角坐標為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）：x2+y2﹣4y＝0，：；（2）

【解析】

（1）把＝4sinθ兩邊同時乘以，然后結合極坐標與直角坐標的互化公式可得曲線C的直角坐標方程，由直線的參數(shù)方程可知直線過定點，并求得直線的斜率，即可寫出直線的普通方程；

（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，化為關于t的一元二次方程，利用判別式、根與系數(shù)的關系及此時t的幾何意義求解即可．

（1）由＝4sinθ，得2＝4ρsinθ，∴曲線的直角坐標方程為x2+y2﹣4y＝0．

當a＝時，直線過定點（2，3），斜率k＝﹣．

∴直線的普通方程為y﹣3＝﹣，即；

（2）把直線的參數(shù)方程為代入x2+y2﹣4y＝0，

得t2+（2sina+4cosa）t+1＝0．設的參數(shù)分別為t1，t2.

所以t1+t2＝﹣（2sina+4cosa），t1t2＝1，則t1與t2同號且小于0，

由△＝（2sina+4cosa）2﹣4＞0，得2sina+4cosa＜﹣2或2sina+4cosa＞2．

∴|PA|+|PB|＝﹣（t1+t2）＝2sina+4cosa＝（tanθ＝2）．

∴|PA|+|PB|的最大值為．